asal sayıların gizemi ve riemann

asal sayıların gizemi ve riemann


Matematiğin neresine bakarsanız bakın, derine indiğinizde karşınıza tamsayılar ve onların kuramı olan sayılar kuramı (yb. “number theory”) çıkacak. İki yazı önce Eğitimbilim dergisinde [Ocak 2006] tamsayıların hem riyâziyenin, hem de doğa bilimlerinin ortak temel taşları olduğundan biraz bahsetmiştim. Artı işaretli tamsayılar, yâni 1, 2, 3, … diye giden doğal sayılar ve onları (aşağıda göreceğimiz gibi) oluşturan asal sayılara etraflıca hele bir bakalım; neler yok neler orada. Biliyorsunuz “asal sayı, p” başka doğal sayılarla tam olarak bölünemeyen bir doğal sayıdır; ({p}= 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,…). Bir eksen üzerinde sıfırdan sonsuza dek giden doğal sayılar arasına serpiştirilmiş asal sayılar var. Daha baştan bu asal sayıların gizemi insanı büyülüyor. Birinci soru: p’lerden kaç tane var? Belli bir adet mi, sonsuz tane mi? Asalların sonsuz adet olduğu daha M.Ö. 300’de Öklid’ce ispatlanmıştı (çok önceki Sümerler de belki biliyorlardı). Yakın zamana dek çeşitli ispatlar da yapıldı.

İkinci, ve hâlâ cevabı bulunamamış soru:

Tamsayılar ekseni üzerinde asal sayıların dağılımı nedir? Doğal sayılar arttıkça aralarında asallar belli bir kurala göre mi geliyorlar? Meselâ, artarak giden asal sayıların 50. sini bulduğumuzda 51., 52., vb. nin hangi asal sayılar olacağını önceden kestirebilir miyiz? Peki bir dağılım/dizilim kuralı bulamıyorsak, acaba dağılım matematik (ve fizik) anlamında rasgele mi (yb. “random” mı)? Aradan 2300 veya fazla yıl geçmesine, ve nice matematikçilerin uğraşmasına rağmen, bu paragrafımızdaki soruların cevabı hâlâ “hayır” veya bilinmiyor.

1960’lara, yâni bilgisayar çağına kadar bilinen en büyük asal sayıyı bulmak gazete haberi oluyordu, ama artık, hesapların büyük olmasına rağmen bu, havadis sayılmıyor. Çok büyük bilgisayarlarla, deneye sınaya, milyarlarca asal sayı bulundu. Ama hâlâ asal sayıların dağılım/dizilim kuralı bulunamadı. Bu, riyâziyenin çözülememiş en temel ve en büyük meselesi olmaya devam ediyor. Kesin sonuca, keskin bir ‘anasav’a (teoreme) ulaşılamadıysa da bilinen bazı şeyler var: Euler’in, Gauss’un buldukları ve Riemann’ın 150 yıldır ispatlanamamış, ama çürütülememiş de olan varsayımı (yb. “hipotezi”). Riemann Varsayımı’nı ispatlayabilene Clay Vakfı’nın koyduğu bir milyon dolarlık ödül duruyor.

Doğal sayılar iki çeşit: i) Asallar, ii) Asal olmayanlar ki, bunlara ‘bileşik’ sayılar da diyebiliriz, çünkü, Eski Çağ’dan beri bilindiği üzere asal olmayan herhangi bir doğal sayı yalnızca tek bir biçimde, belirli asalların çarpımından ibârettir. Örn. 720 sayısı 4 adet 2, iki adet 3, ve bir tane 5’in çarpımından oluşur, yâni 720 = 24 x 32 x 5. (Sâdece bu asal çarpanlar ‘bileşik sayı’ 720’yi verir.) Bu, “aritmetiğin temel ‘anasav’ı (teoremi)”. Bazıları, kimyaya teşbihle, asal sayıları ögeciklere (atomlara), bileşik doğal sayıları ise özdeciklere (moleküllere) benzetiyorlar; şu farkla ki kararlı ögecik cinsinden 92 adet (çabuk bozunur, yapaylarıyla birlikte 105 kadar) var, asal sayılar ise sonsuz miktarda.

Asalların dağılımı/dizilimi hakkında bazı bilinenler: a) 2 ve 3 hâriç asallar birbirine komşu olmazlar. Ama, aralarında tek bir bileşik sayı olan asal sayı çiftlerinden sonsuz adet çift olduğu sanılıyor. Bu, “ikiz asal varsayımı”nın da henüz ispatı yok. b) Sayılar büyüdükçe asallar-arası asalsız boşluk da büyüyor. c) Gelelim C.F. Gauss’un buluşuna:

1801’de Gauss dedi ki, asalların dağılımını bilmesek de, belli bir doğal sayı (n)’e kadar kaç adet asal olacağını bulalım. Ve şu formülü sayılara bakarak buldu: n? p asalları sayısı, n sonsuza yaklaşırken (n/ ln n) ‘e yaklaşır. (Burada (ln) , e= 2.718… tabanlı logaritma) [‘logaritma’ lâfı ise büyük Türk matematikçisi, cebiri keşfeden , Türkistanlı (Harzemli) Harezmî’nin adının Batı’daki bozuk telâffuzundan geliyor]. Dolayısıyla n büyüdükçe asallar sayısı, (n)’e nispetle azalır, ama hiçbir zaman sıfır olmaz.

Gauss’un formülü bir tahmindi, ama 100 yıl sonra Hadamard ve de ayrıca C. de la Vallée-Poussin tarafından ispatlanıp “asalların sayısı anasavı (teoremi)” adını aldı. Tabii gene de formül ancak n sonsuza yaklaştıkça doğru. Herhangi bir (n)’de belli bir yüzde hâtâ var. Bu iş fen veya mühendislik olsa uygulamada idâre edebilir, ama saf matematikte kesin ispatlar, kesin anasavlar olmalı. Ve 150 yıl önce Riemann bu hâtâ miktarını kesinkes bulmağa karar verdi, çünkü öyle bir sonuç, asallar çok temel nesneler olduklarından, matematiğin birçok dalını da etkileyecekti. (n) bir milyon, milyar mertebesine vardığında Gauss’un formülü %3 hâtâ veriyor. Riemann önce bu hâtâyı düşürdü, hattâ %1’in çok altına. Ama hâlâ kesin bir sonuç, temel bir anasav yoktu. Derken, Riemann, çok önceki ve çok ilginç Euler’in bir formülünü karmaşık sayılara genişleterek “Riemann Varsayımı”nı ortaya attı, hâlâ ispatlanamamış büyük varsayım, matematiğin çeşitli dalları, şimdi de kuramsal fiziğin temelleri içinde önemli hâle gelmiş varsayım. Varsayımın ispatı için günümüzde bambaşka, değişik yönlerden uğraşılıyor.